06. 공학 모델링 — 현실 문제를 최적화 문제로 바꾸기

// BACKGROUND 6/6 — input-output model, simulation, ODE/PDE, objective definition, constraint definition

공학 최적화의 어려움은 알고리즘 이전에 모델링에서 시작합니다. 현실의 설계 문제를 수식으로 옮기는 과정에서 무엇을 변수로 둘지, 무엇을 목적함수로 둘지, 무엇을 제약으로 둘지가 결정됩니다.

Input-output model

input-output model은 입력 $x$ 를 넣으면 출력 $y$ 가 나오는 관계입니다.

y=M(x).

여기서 $M$ 은 실험식, 시뮬레이터, 신경망, 물리 모델일 수 있습니다. 최적화는 보통 $M(x)$ 를 이용해 성능 지표를 계산합니다.

simulation은 현실 시스템을 계산 모델로 실행하는 것입니다. CFD, 구조해석, 회로 시뮬레이션, 공정 시뮬레이션 모두 여기에 들어갑니다.

문제는 simulation이 비싸다는 점입니다. 평가 한 번에 몇 분, 몇 시간, 며칠이 걸리면 gradient descent처럼 많은 평가를 요구하는 방법이 어렵습니다. 이때 expensive optimization과 surrogate modeling이 필요합니다.

동역학이나 물리 법칙은 ODE 또는 PDE로 표현될 수 있습니다.

ODE 예시:

\frac{dz}{dt}=f(z(t),x,t).

PDE 예시:

\frac{\partial u}{\partial t}=\mathcal{L}(u,x).

최적화 변수 $x$ 가 시스템의 계수, 경계조건, 형상 파라미터라면 objective는 ODE/PDE를 푼 결과에서 계산됩니다.

objective definition은 “무엇을 좋다고 볼 것인가”를 수식으로 정하는 일입니다.

예시:

여러 목표가 있으면 하나의 scalar objective로 합치거나 multi-objective optimization으로 다룹니다.

constraint definition은 “반드시 지켜야 하는 조건”을 정하는 일입니다.

예시:

:::tip 모델링 순서 먼저 decision variables를 정하고, simulation이 무엇을 출력하는지 확인한 뒤, objective와 constraints를 분리하세요. “좋으면 좋은 것”과 “어기면 안 되는 것”을 섞으면 문제 해석이 흐려집니다. :::