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감마 함수와 베타 함수 — 정규화 상수의 공장

Background 3/5. 확률밀도는 "전체 적분 = 1"이 되도록 정규화 상수를 붙여야 완성됩니다. 가우시안의 2π\sqrt{2\pi}, Beta 분포의 B(α,β)B(\alpha,\beta) 가 모두 이 페이지의 두 특수함수에서 나옵니다.

감마 함수 (Gamma Function)​

Γ(z)=∫0∞tz−1e−t dt(Re⁡(z)>0)\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t}\, dt \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0)

"다항식 꼬리 tz−1t^{z-1} 와 지수 감쇠 e−te^{-t} 의 곱을 전부 적분한 값"입니다. 확률론에 나오는 적분의 상당수가 변수 치환 한 번으로 이 형태가 됩니다.

핵심 성질​

1. 점화식 (부분적분 한 번으로 증명)

Γ(z+1)=z Γ(z)\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)

2. 팩토리얼의 연속화

Γ(1)=∫0∞e−tdt=1\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = 1 에서 출발해 점화식을 반복하면:

Γ(n)=(n−1)!(n=1,2,3,… )\Gamma(n) = (n-1)! \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)

감마 함수는 팩토리얼을 실수(나아가 복소수)로 확장한 유일한 로그볼록 함수입니다(Bohr–Mollerup 정리). "왜 하필 이 확장인가"에 대한 답이 존재한다는 뜻입니다.

3. 반정수 값

Γ(12)=π\Gamma\big(\tfrac{1}{2}\big) = \sqrt{\pi}

증명은 치환 t=u2t = u^2 으로 가우스 적분 ∫−∞∞e−u2du=π\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi} 에 귀착됩니다. 가우시안 분포의 정규화 상수 2π\sqrt{2\pi} 가 여기서 나옵니다. 감마 함수와 가우스 적분은 같은 뿌리입니다.

4. Stirling 근사

Γ(z)∼2πz(ze)z(z→∞)\Gamma(z) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}} \Big(\frac{z}{e}\Big)^{z} \qquad (z \to \infty)

큰 수의 팩토리얼·이항계수를 다룰 때(예: CLT의 국소 버전, 엔트로피 계산) 필수 도구입니다.

베타 함수 (Beta Function)​

B(α,β)=∫01tα−1(1−t)β−1 dt(α,β>0)B(\alpha, \beta) = \int_0^1 t^{\alpha-1} (1-t)^{\beta-1}\, dt \qquad (\alpha, \beta > 0)

"[0,1][0,1] 위에서 tα−1(1−t)β−1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} 모양의 덩어리 전체 넓이"입니다. Beta 분포의 밀도가 정확히 이 피적분함수이므로, 베타 함수는 곧 Beta 분포의 정규화 상수입니다.

감마 함수와의 관계 (가장 중요한 항등식)​

B(α,β)=Γ(α) Γ(β)Γ(α+β)B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}

증명 스케치: Γ(α)Γ(β)\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) 를 이중적분으로 쓰고 s=x+ys = x + y, t=x/(x+y)t = x/(x+y) 로 치환하면 적분이 Γ(α+β)⋅B(α,β)\Gamma(\alpha+\beta) \cdot B(\alpha,\beta) 로 분리됩니다. 이 치환은 "합과 비율은 독립"이라는 감마 분포의 유명한 성질(감마-베타 관계)과 동일한 계산입니다.

유용한 특수값과 성질​

  • B(1,1)=1B(1,1) = 1 — Uniform(0,1)이 Beta(1,1)인 이유
  • B(α,β)=B(β,α)B(\alpha,\beta) = B(\beta,\alpha) — 대칭성
  • 자연수 m,nm, n에 대해:
B(m,n)=(m−1)! (n−1)!(m+n−1)!=[(m+n−1)(m+n−2m−1)]−1B(m, n) = \frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!} = \Big[ (m+n-1)\binom{m+n-2}{m-1} \Big]^{-1}

이항계수의 역수 꼴이라는 사실은 Beta 분포와 이항분포·순서통계량의 깊은 관계(Beta 분포 페이지에서 상술)를 예고합니다.

실전: 정규화 상수 계산 패턴​

확률론에서 반복되는 계산은 대부분 다음 두 패턴 중 하나입니다.

패턴 1 — 감마형 적분: ∫0∞xa−1e−bxdx\int_0^\infty x^{a-1} e^{-bx} dx 꼴은 u=bxu = bx 치환으로

∫0∞xa−1e−bx dx=Γ(a)ba\int_0^{\infty} x^{a-1} e^{-bx}\, dx = \frac{\Gamma(a)}{b^{a}}

패턴 2 — 베타형 적분: ∫01xa−1(1−x)b−1dx=B(a,b)\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx = B(a,b) 꼴. 지수만 읽어내면 적분이 끝납니다.

예를 들어 Beta 분포의 kk차 모멘트는:

E[Xk]=1B(α,β)∫01xk+α−1(1−x)β−1dx=B(α+k,β)B(α,β)=∏j=0k−1α+jα+β+j\mathbb{E}[X^k] = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_0^1 x^{k+\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx = \frac{B(\alpha+k, \beta)}{B(\alpha,\beta)} = \prod_{j=0}^{k-1} \frac{\alpha+j}{\alpha+\beta+j}

적분을 한 번도 "직접" 하지 않고 지수 읽기와 점화식만으로 끝났습니다. 이 계산 감각이 이 페이지의 목표입니다.

디감마 함수 (짧게)​

ψ(z)=ddzln⁡Γ(z)\psi(z) = \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z)

Beta·Dirichlet 분포의 로그 기댓값 E[ln⁡X]=ψ(α)−ψ(α+β)\mathbb{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha+\beta) 에 등장합니다. 변분 추론(variational inference)에서 Beta/Dirichlet를 쓸 때 반드시 만나게 되는 함수라 이름만은 알아둘 가치가 있습니다.

이 페이지에서 기억할 것​

  1. Γ(z+1)=zΓ(z)\Gamma(z+1) = z\Gamma(z), Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!, Γ(1/2)=π\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} — 이 셋으로 대부분의 계산이 됩니다.
  2. B(α,β)=Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)B(\alpha,\beta) = \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta) 는 확률론에서 가장 자주 쓰는 항등식 중 하나입니다.
  3. 감마형/베타형 적분 패턴을 익히면 정규화 상수와 모멘트 계산이 "지수 읽기"로 환원됩니다.
  4. 가우시안의 2π\sqrt{2\pi} 와 Beta 분포의 B(α,β)B(\alpha,\beta) 는 모두 감마 함수의 얼굴입니다.

다음 단계​