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// PROBABILITY — 확률 분포를 공리에서부터 다시 쌓아 올리는 공간

가우시안, Beta, 알파 안정(α-stable) 분포를 "공식 암기"가 아니라 왜 그런 모양인지부터 이해하는 것을 목표로 하는 노트입니다. 배경 이론 5편을 먼저 읽고 분포 심화 3편으로 넘어가면 각 분포의 정의·성질·활용이 하나의 흐름으로 연결됩니다.

권장 학습 순서는 아래와 같습니다. 사이드바는 최신순 정렬이므로, 처음 읽는다면 이 목록의 순서를 따라가세요.

Background (배경 이론 5편)

• 확률 공간과 확률 변수 — 표본 공간, 사건, Kolmogorov 공리, 확률 변수, CDF/PDF/PMF
• 기댓값, 모멘트, 특성함수 — 기댓값의 정의, 분산과 고차 모멘트, MGF와 특성함수, 모멘트가 존재하지 않는 경우
• 감마 함수와 베타 함수 — 팩토리얼의 연속화, 감마·베타 함수의 성질, 정규화 상수가 만들어지는 방식
• 큰 수의 법칙, 중심극한정리, 안정성 — LLN, CLT의 의미와 증명 스케치, 일반화 CLT와 안정 분포의 등장
• 베이즈 추론과 켤레 사전분포 — 베이즈 정리, 사전/사후 분포, 켤레성의 의미와 계산적 이점

Distributions (분포 심화 3편)

• 가우시안 분포 — 정의, 표준화, 선형 결합 닫힘성, 최대 엔트로피, CLT와의 관계, 샘플링
• Beta 분포 — [0,1] 위의 분포, 형태 파라미터의 직관, 순서통계량과의 관계, Bernoulli 켤레성, Thompson sampling
• 알파 안정 분포 — 안정성의 정의, 특성함수 파라미터화, 가우시안·코시·레비 특수 사례, 무거운 꼬리와 일반화 CLT

이 시리즈의 관점

• 분포는 공리의 결과물 — 세 분포 모두 "어떤 요구조건을 만족하는 유일한(혹은 자연스러운) 답"으로 유도됩니다. 가우시안은 CLT와 최대 엔트로피, Beta는 켤레성과 순서통계량, 알파 안정은 안정성 공리의 결과입니다.
• 도구는 특성함수 — 밀도함수가 닫힌형으로 존재하지 않는 분포(알파 안정)까지 다루려면 MGF가 아닌 특성함수가 기본 도구가 됩니다.
• 꼬리(tail)를 관찰하라 — 세 분포의 결정적 차이는 꼬리의 두께입니다. 어떤 모멘트가 존재하는지가 실무 적용 가능성을 좌우합니다.