Math
// PROBABILITY — 확률 분포를 공리에서부터 다시 쌓아 올리는 공간
확률 공간과 확률 변수 — 분포 이해의 출발점
Background 1/5. 이 시리즈의 모든 분포는 결국 "확률 공간 위에 정의된 확률 변수가 만드는 측도"입니다. 이 페이지에서 그 문장을 완전히 해석할 수 있게 만드는 것이 목표입니다.
기댓값, 모멘트, 특성함수 — 분포의 숫자 요약
Background 2/5. 분포라는 무한 차원의 대상을 유한 개의 숫자(모멘트)와 하나의 함수(특성함수)로 요약하는 도구를 정리합니다. 특히 특성함수는 알파 안정 분포를 정의하는 유일한 실용적 수단이므로 공들여 다룹니다.
감마 함수와 베타 함수 — 정규화 상수의 공장
Background 3/5. 확률밀도는 "전체 적분 = 1"이 되도록 정규화 상수를 붙여야 완성됩니다. 가우시안의 $\sqrt{2\pi}$, Beta 분포의 $B(\alpha,\beta)$ 가 모두 이 페이지의 두 특수함수에서 나옵니다.
큰 수의 법칙, 중심극한정리, 안정성 — 합의 보편 법칙
Background 4/5. "많은 독립 요인의 합은 어떤 모양이 되는가"라는 하나의 질문에서 큰 수의 법칙(LLN), 중심극한정리(CLT), 그리고 안정 분포(stable distribution)가 차례로 나옵니다. 가우시안이 왜 어디에나 있는지, 그리고 가우시안이 유일한 답이 아닌 이유까지가 이 페이지의 범위입니다.
베이즈 추론과 켤레 사전분포 — 분포가 학습되는 방식
Background 5/5. 지금까지는 분포를 "주어진 것"으로 다뤘습니다. 이 페이지에서는 데이터를 보고 분포에 대한 믿음을 갱신하는 절차(베이즈 추론)와, 그 갱신이 닫힌형으로 떨어지는 특별한 구조(켤레성)를 다룹니다. Beta 분포가 "확률에 대한 확률분포"로 활약하는 무대가 여기입니다.
가우시안 분포 — 보편성의 분포
Distribution 1/3. 가우시안(정규)분포를 "종 모양 곡선"이 아니라 세 개의 독립적인 유도 경로가 모두 도달하는 유일한 답으로 이해합니다. 배경: 확률 공간, 모멘트와 특성함수, CLT.
Beta 분포 — 확률에 대한 확률분포
Distribution 2/3. Beta 분포는 $0,1]$ 위에 사는 분포, 즉 비율·확률 자체를 모델링하는 분포입니다. 배경: [감마·베타 함수, 베이즈 추론과 켤레성.
알파 안정 분포 — 무거운 꼬리의 보편 법칙
Distribution 3/3. 알파 안정(α-stable, Lévy stable) 분포는 "독립 합을 취해도 모양이 변하지 않는다"는 안정성 공리로 정의되는 4-파라미터 패밀리입니다. 가우시안과 코시를 특수 사례로 포함하며, 분산이 무한한 데이터의 CLT 극한을 담당합니다. 배경: 특성함수, 안정성과 일반화 CLT.